Matemaatika:Gümnaasium/Kordamine eksamiks/Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika

Valemid

Kombinatoorika valemid

$V_{n}^{m}=n*(n-1)*(n-2)*\ldots *(n-m+1)={\frac {n!}{(n-m)!}}$

$C_{n}^{m}={\frac {V_{n}^{m}}{P_{m}}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$

${\begin{matrix}n!=n(n-1)*(n-2)*...*2*1\end{matrix}}$

$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$

${\begin{matrix}0!=1\\1!=1\\P_{n}=n!\end{matrix}}$

Bernoulli valem

$P(X=k)=P_{n,k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$, kus

n -katsete arv,

k -sündmuste esiletuleku arv,

p -sündmuste esiletuleku tõenäosus ühel katsel

q=1-p

Aritmeetiline keskmine

${\bar {x}}={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\ldots +x_{m}f_{m}}{n}}$, kus f₁+f₁+...f_n=n

Dispersioon

$\sigma ^{2}={\frac {(x_{1}-{\bar {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\bar {x}})^{2}f_{2}+\ldots +(x_{m}-{\bar {x}})^{2}f_{m}}{n}}$

Standardhälve

$\sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}$

Näited

Peeter hakkab viskama vabaviskeid, tal on antud 10 viset. Tõenäosus, et Peeter sisse viskab on 42%. Leidke tõeonäosus, et Peeter tabab 8 viset kümnest.

$P(X=k)=P_{n,k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$ Asendame ülesande tingimustest

n=10

k=8

p=0,42

q=0,58

$C_{10}^{8}={\frac {10!}{2!*8!}}={\frac {10*9*8!}{2*8!}}={\frac {10*9}{2}}=45$

$P(X=8)=P_{10,8}=C_{10}^{8}*0,42^{8}*0,58^{10-8}=0,0146575985921745408\approx 1,466\%$

Vastus: Tõenäosus, et Peeter tabab 10'st viskest 8 on 1,466%.

Ülesanded

1. Peetri klassis on 32 õpilast. Leia tõenäosus, et Peeter võib sõpra Jaani koolis kohata, kui täna tuli kooli 17 õpilast ja Peeter.
2. Peetril on 3 erivärvilist vildikat - sinine, punane ja roheline. Leia tõenäosus, et Peeter joonistas pildi sinise vildikaga, kui enne joonistamist laenas Jaan temalt ühe vildika.
3. Milline on Jaapani matemaatikaristsõna "Sudoku" erinevate lauakombinatsioonide arv?