Helisüntees

HELISÜNTEES

1. Elektroonilise heli alused

1.1 Heli salvestamine

Elektroonilise helitöötluse üks põhitingimusi on jäädvustamise ja taasesitlemise võimalus. Alles sellel taustal on võimalik heli ka töödelda, teisendada või puhtalt elektrooniliselt genereerida.

Heli kui akustiline nähtus ilmneb õhuvõngete või muude ainevõngete näol. Mikrofon muundab õhuvõnked elektrilisteks pingevõngeteks. Akustiline laine kujutatakse elektrilisteks võngeteks. Elektrilised võnked võib siis töödelda elektrooniliste abivahenditega või salvestada erinevate vahenditega (magnetlint, mehhaaniliselt nagu vinüülplaat). Sellel viisil käsitletakse laine kui sellisena ehk võrdselt, mida nimetatakse analoogiks.

1.2 Analoog- ja digitaalprintsiip

Kui aga helilaine, või täpsemalt öeldes, elektrilisteks võngeteks muundatud helilained mõõdetakse ja mõõdetud väärtused töödeldakse ja salvestatakse, siis ei saa enam rääkida analooghelist. Helilaine on siis kodeeritud numbriteks, mida esitatakse kahendsüsteemi järgi. Sellel juhul räägitakse digitaalhelist. Digitaalprintsiip üldises mõttes tähendab (akustiliste, optiliste jms) nähtuste kirjeldamine ja töötlemine kahendsüsteemi arvudes. Kui aga nätuste omadused kantakse otseselt üle elektrilisele pingele, siis on tegemist analoogprintsiibiga.

1.3 Kahendsüsteem

Kui lääne traditsiooni järgi tähistatakse numbreid kümnendsüsteemi ehk detsimaalsüsteemi järgi (ilmselt selletõttu, et inimestel on kümme sõrme, millega arvud võib kujutada), siis kaasaegses arvutitehnoloogias osutas otstarbekaks rakendada ainult kaks numbrit, 0 ja 1. Ainult kahe erineva pingetasandi kasutamine kujutamaks numbrit 0 ja 1 garanteerib maksimaalset signaali-müra-suhet ja välistab valdavalt tulemuse segamine elektromagneetilistest müradest. Kui kümnendsüsteemis esineb kümme numbrit (0-9), enne kui lisatakse järgmise numbrikohta, siis kahendsüsteemis tuleb järgmise koha juurdevõtmine juba kahe numbri pärast.

Kahend- Kümnend- Kümnend- süsteem süsteem süsteem 0-ga algus 1-ga algus

0 0 1 1 1 2

10 2 3 11 3 4

100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 8

1000 8 9 1001 9 10 1010 10 11 1011 11 12 1100 12 13 1101 13 14 1110 14 15 1111 15 16

Tabel 1.1. Kahendsüsteem ja Kümnendsüsteem

1.3.1 Numbrite lugemisprintsiibid

Eelolevas tabelis on näidatud kahend- ja kümnendsüsteemi võrdlus. Kümnendsüsteem on seal kahel viisil esitatud, alustades nulli ja ühega. Need kahte lugemisviisi tavaelus rakendatakse vastavalt olukorda, mis võib tuua ka segadusi. (Null kui number ei olnud tuntud vanadel roomlastel ja tuli euroopas kasutusele alles keskajal araablaste vahendusel). Näiteks olgu siin toodud muusika intervallid:

intervallinimetused: priim sekund terts kvart kvint sekst septim oktav numbri tähendus 1 2 3 4 5 6 7 8 tegeliku diatooniliste astmete arv: 0 1 2 3 4 5 6 7

Tabel 1.2. Intervallid ja tegelikud astmed

See näitab, et itaaliakeelsete intervallinimetuste numbrilist tähendus ei vasta tegeliku diatoonliste astmete arvule, priimiga tähistatagse kaks samakõrgusega heli, aga mõlemate helide astmelist vahemik on ju null, sekund tähendab „teine“, tegemist on aga ühe diatoonilise astmega jne.

1.3.2 Kahendsüsteemi kohad

Ühekohalised arvud on kahendsüsteemil ainult 2, 0 ja 1. Ühe- ja kahekohaliste kahendsüsteemi arvud on 4 (0, 1, 10, 11) ja ühe-, kahe- kolmekohalised numbrid on kokku 8 (vt. tabel 1). Kuni neljakohased arvud on kokku 16, kuni viiekohalised 32 kuni kuuekohalised 64 jne., ehk käitub valemi

(1.1)

järgi. Sellesama valemi (1.1) tuletatud arvrida leiab laialt rakendust arvutitehnoloogias, me kohtume teda ka MIDI standardis jne: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 jne. Kuigi tihti esinevad nad ka ühe võrra väiksem, ehk lugedes nagu tabelis 1.1 näidatud nulliga alustades: 0 1 3 7 15 31 63 255 511 1023 2047 jne. (vt. Tabel 1.3)

kohtade arv: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 numbrid (0-st): 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 numbrid (1-st) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tabel 1.3. Kohtade arv ja kahendsüsteemi numbrid

Arvutitehnoloogias nimetatakse ühe kahendsüsteemi numbrikoha bitiks, ühel bitil võib olla väärtus 0 või 1. Selle järgi nimetatakse ka nt. kuni kahekohalised kahendsüsteemi arvud kahebitisteks, kuni kolmekohalised kahendsüsteemi arvu kolmebitisteks jne. Arvudel, millel on vähem kohti kui peaks olema bitikohad, pannakse ette nullid, kahebitine arv 10 on kolmebitisena kirjutatud 010, neljabitisena aga 0010.

1.3.3 Kahendarvude ja Kümnendarvude üksteise ümberarvutamine

Kahendarvude ja kümnendarvude vahel saab ümber arvutada järgmiselt: a) kui on antud kümnendarv ja otsitud on vastav kahendarv, siis tuleb jagada kahega ja üles märkida jagamise naturaalarvu tulemust ja jääki (moodul). Kuna jagatakse kahega, jääb jääk alati 0 ja 1 vahele. Tulemust jagatakse uuesti kahega ja mägitakse üles uuesti tulemust ja jääki. Seda tehakse niikaua, kuni enam ei saa. Siis kirjutatakse tagurpidi ehk alt ülesse jäägid üles ja see annabki otsitud kahendarvu.

Näide:

Milline on 55 kirjeldatud kahendarvuna?

55 : 2 = 27 jääk 1 27 : 2 = 13 jääk 1 13 : 2 = 6 jääk 1 6 : 2 = 3 jääk 0 3 : 2 = 1 jääk 1 1 : 2 = 0 jääk 1

Tulemus (loetud alt ülesse): 110111

b) kui antud on kahendarv ja otsitud vastav kümnendarv, siis tuleb kahendarvukohtade juurde märkida tagant ettepoole 2-astmes n rida (1 2 4 8 16 ...) ja iga kahendarvu numbrikoha puhul neid omavahel korrutada. Kuna kahendarvu kohtadel on ainult null või üks, siis jäävad sisuliselt alles ainult need 2-astmes n rea numbrid, mille juures on üks. Arvutatud numbrid liidetakse kokku ja tulemuseks ongi otsitud kümnendarv.

Näide: 1010011

   1    0    1    0    0    1    1
   64  32  16  8    4    2    1

   64   0   16  0    0    2    1		koht-koha haaval korrutamine
   64+0 +16+0 + 0 + 2 +1 = 83 	kokkuliitmine ja tulemus on käes

1.4 Heli digitaliseerimine ja taasesitlemine

Nagu ülalpool öeldud, heli digitaliseerimisel kodeeritakse lainekuju numbrites kahendsüsteemi järgi ja taasesitletakse digitaalsete numbrite järgi uuesti voolupingeteks. Need elektroonilised üksused, mis seda ette võtavad, nimetatakse konverteriks. Eristatakse konverteerimissuunda: ADC, mis tähendab inglise keeles Analog-to-Digital-Converter ja DAC ehk Digital-to-Analog-Converter.

Kui digitaliseeritakse heli (ADC puhul), siis mõõdetakse elektrilisi pingevõnkeid, mida saime kätte nt mikrofonilt või mingilt muult elektrooniliselt allikalt, ehk võetakse nn näidiseid ehk diskreete ehk sämpleid (ing sample). Kui toimub digitaalse heli taasesitlemine (DAC puhul), siis moodustatakse digitaalsete sämplite järgi elektrilisi pingevõnkeid, mida võimendatakse ja saadetakse kuularitele. Joonis 1.1. Heli digitaliseerimise ja taasesitluse ahel.

Heli digitaliseerimisel peab arvestama inimese tajuvõimetage. Muusikaline parameeter helikõrgus vastab üldjuhul füüsikalisele parameetrile sagedus. Sagedus (f nagu ing frequency), mida tähistatakse hertsides (Hz), on defineeritud perioodikestuse (T nagu ing time) kaudu:

(1.2)

Ehk sagedus käitub perioodikestusega pöördvõrdeliselt. Mida suurem sagedus, seda väiksem on perioodikestus.

Umbkaudu võib täheldada, et inimese sagedusalased tajupiirid on 20 Hz ja 20 000 Hz, ehk 20 kHz (kiloherts = 1 000 Hz), mis võivad olla tihti olla kitsamad (eriti ülemine piir), sõltuvalt inimese vanust, soost jms. Igal juhul peab digitaliseeritud heli katma kogu nimetatud sageduse ulatus, et garanteerida heli kvaliteeti.

1.4.1 Nykvisti teoreem ja sämpleerimissagedus

Et aga kujutada teatud laine sagedus, peab mõõtma vähemalt kaks korda ühe perioodi jooksul. Lihtsustatult võime ette kujutada, et tuleb mõõta vähemalt ühe laine „orgu“ ja „mäge“, et saaks seda lainet hiljem ka taasesitleda. Sellel viisil on meil piiratud kõige kõrgem mõõdetav sagedus. Sellekohaselt on sõnastatud niinimetatud Nykvisti teoreem.

(1.3)

Arvestades inimese ülemist sageduslikku tajupiiri, peab mõõtma sellest kaks korda rohkem, st vähemalt 40 000 korda sekundis. Kui palju kordi mõõdetakse sekundis, seda nimetatakse sämpleerimissageduseks (ing. sample rate) või diskreetimissageduseks. Sellega seoses on välja kujunenud sämpleerimissageduste standardid, nt 44 100 Hz ehk 44,1 kHz on audio-CD standard, kasutatakse aga ka 48 000 Hz ehk 48 kHz, mis omakorda läheb kokku video sämpleerimissagedustega. On aga ka kasutusel nimetatud sagedustest kahekordne: 88,2 kHz ja 96 kHz ja veelgi kõrgemaid sämpleerimissageduseid.

1.4.2 Bit-rate

Kui sämpleerimissagedus määrab resolutsioon horisontaalteljel, siis on aga vaja määrata, kuidas mõõta vertikaalteljel. Heli digitaliseerimisel tuleb määrata piir, kui suur tohib olla maksimaalne amplituud ehk maksimaalne helitugevus. Maksimaalse amplituudi ulatus mõõdetakse teatud resolutsiooniga, mida kirjeldatakse bit rate'i abil ja nimetatakse ka resolutsiooniks. Bittides number ütleb, kui palju mõõtmeühikuid kasutusele võetakse. Audio-CD standart on 16 bitti, milles iga sämpel ehk diskreet on 16-bittine arv. Järelikult mõõdetakse sellel puhul 65 536 mõõtmeühikutega resolutsiooni. On aga ka levinud 24-bittine ja isegi 32-bittine heli.

1.4.3 Digitaalheli kvaliteet

Mõlemad, nii sämpleerimissageduse kui ka bit-rate'i suurus määravad oluliselt helikvaliteeti. Sealjuures mida suurem neid on, seda parem on helikvaliteed. Vaadeldes nt vanemad standardid nagu sämpleerimissagedus 22 050 Hz, nagu vanadel helikaartidel oli, siis on helil sellise sämpleerimissagedusega kvaliteed halvem kui 44 100 Hz. Samas ka bit-rate'i puhul, ehk vanade helikaartide 8bittine heli on tunduvalt halvem kui 16bittine heli.

Joonis 1.2. Heli digitaliseerimine ja taasesitlemine: Näidiste (ing samples) ehk diskreetide võtmine ja detailide kadu heli taasesitlemisel.

1.4.4 Moonutuste vältimine

Heli digitraliseerimis- ja taasesitlemisprotsessil võivad tekkida moonutused. Kui mõnelgi pillil tekkivad sagedused, mis on Nykvisti sagedusest kõrgem, siis nad esinevad selle võrra Nykvisti sageduse ümber peegeldatuna ja langevad kuulatavasse sagedusalasse:

(1.4)

Et seda vältida, filtreeritakse analoogselt välja kõik sagedused, mis on Nykvisti sagedusest kõrgem.

Digitaalheli taasesitlemisel tekkivad sarnased probleemid. Kui esitada puhtalt digitaalsed numbrid järjest elektriliste pingesuurustena, siis tekkib trepikujuline laine. See tähendaks, et sellel lainel oleks ülemhelid ultrahelialal, mis omakorda võivad põhjustada moonutusi analoogses võimendussüsteemis, mispärast ka siin filtreeritakse kõiki sagedusi üle Nykvisti sageduse välja ja sellel viisil silutatakse trepikujulist lainet. Joonis 1.3. Alias-sageduste esinemine, kui digitaliseeritakse sagedused kõrgem kui Nykvist-sageuds.

2. Üldine võnke- ja laineteooria

2.1 Võnge ja laine

Füüsikaliselt eristatakse võnget ja lainet. Võnge on nähtus, mille all mõeldakse füüsikalise seisundi perioodilist muutumist. Selline võiks olla nt pendli liikumine vanadel seinakelladel, mehaaniline metronoom vms. Võnke tunnus on, et füüsikalise seisundi perioodilised muutused toimivad ühes kohas, st ümber fikseeritud punkti ja ei liigu edasi. Võib öelda, et nähtusel ei ole ruumilist dimensiooni1.

Võnkel on sagedus f (Hz), perioodi kestus T (s) ja amplituud A, millega tähistatakse võnke intensiivsust ehk äärmist võnkediapasooni. Praktikas võib amplituudil olla erinevaid füüsikalisi suurusi vastavalt võnketüübile. Sagedus on:

(2.1)

Kui aga füüsikaliste seisundite perioodiline muutumine liigub ruumis edasi, siis räägitakse lainest. Üldiselt eristatakse kahte tüüpi laineid: 1) mehaanilised lained ja 2) elektromagnetilised lained. Esimesed põhinevad mehaaniliste kehade või molekulide perioodilisel liikumisel, teised aga elektriliste- ja magnetväljade omavahel põimitud perioodilistel muutustel.

2.2 Siinuse trigonomeetrilised alused

Siinus on kõige elementaarsem võnkevorm. Siinuse lainekuju saab matemaatiliselt kirjeldada siinusfunktsioonina. Siinusfunktsiooni tuletatakse ringist, mille raadiuse suurus on 1 (abstraktse ühikuna) (vt joonis 1). Kokkulepitud on raadiuse pööre vastu päeva ja osuti pöörde algus on ringi punktis 0 kraadi (“kell 3”). Pööret läbides muutub järkjärguliselt osuti nurk α, millele vastab kõigepealt ringi peal asuv punkt P. Igale pöördepositsioonile aga vastab lõik punktist P horisontaalteljeni, mida nimetataksegi siinuseks (sin). Kui nurk on 0°, siis ka selle vastav siinus on 0, vasakpöördega tõuseb siinus kuni osuti positsiooni väärtuseni 1 (90°). Edaspidi siinus väheneb kuni väärtuseni 0 (180°), väheneb kuni väärtuseni -1 (270°) ning tõuseb uuesti kuni väärtuseni 0 (360°). Sellega on läbitud täisring ja igas järgmises pöördes kordub kõik eelnev. Täisringi läbimist nimetatakse perioodiks. Osuti positsiooni määramiseks kasutatakse ühikut kraad (nagu eelpool näidatud), aga ka ringi ümbermõõtu. Kuna ringi raadius on 1 ja ümbermõõt on 2πr (π = 3,1415926...), siis on täisring täpselt 2korda π, poolring π ja veerandring π/2. Sedaviisi tähistatud nurk märgistatakse ühikuga radiaan (rad).

Siinuse funktsioon x väärtusega on lõpmatu, seda nii positiivses kui ka negatiivses suunas. Seega on siinuse funktsioonil ka lõpmatu arv perioode. Iga periood on teisega võrdne, nii võib perioodiliselt leida samu asukohapunkte (kas kraadides või radiaanides). Sellist asukohta perioodis nimetatakse faasiks. Üksiku laine faas iseenesest ei ole helipraktikas tähtis, kuid kahe laine võrdlemiseks saab määrata nende faaside erinevus, mida nimetatakse faasinihkeks.

Teiseks nurgafunktsiooniks on aga koosinus (cos), mille väärtused saame kätte, kui mõõdame lõigu pikkust punktist P ringi vertikaalse teljeni. Nii tekib siinusega põhimõtteliselt samakujuline laine, mis on aga siinusest 90° ehk π-kahendiku võrra vasakule nihkunud. Kui nihutame koosinust veelgi 90° võrra edasi, saame negatiivse siinuse (–sin x); sellest uuesti edasi nihutamine sama väärtuse võrra annab negatiivse koosinuse (–cos x). Sin x, cos x, -sin x ja -cos x kajastavad üht ja sama faasis nihkunud funktsiooni, koosinus on siinusest 90° võrra vasakule edasi nihkunud, -siinus on siinusest -180° vasakule edasi nihkunud ja – siinus on siinusest 270° vasakule edasi nihkunud.

Joonis 2.1. Siinuse ja koosinuse tuletamine ringist.

(2.2)

(2.3)

(2.4)

						(2.5)

Siinuse funktsiooni tähistatakse matemaatikas f(x) = sin x. Siinuslaine kõrgust ehk amplituudi ja perioodipikkust võib muuta järgnevate tegurite abil:

(2.6)

Perioodipikkus on pöördvõrdeline sagedusega (ing frequency): F = 1/t (t =ing time), sageduse ühik on herts, lühendiga Hz (saksa füüsiku Heinrich Hertzi järgi, kes avastas elektromagnetilised lained). Tegur a määrab amplituudi ja tegur b sageduse (nt kui b on 2, siis muutub perioodipikkus poole väiksemaks ehk sagedus kaks korda suuremaks. Samu tegureid saab samal viisil loomulikult rakendada ka koosinusfunktsiooni puhul.

2.3 Laine tüübid ja omadused

Helilained on õhu või teiste aineosakeste võnkumisele baseeruvad mehaanilised lained. Helilained kuuluvad mehaaniliste lainete hulka. Mehaanilised lained on aga on ka veelained või lained, mida võib tekitada köie otsa liigutades. Elektromagnetiliste lainete hulka aga kuuluvad raadio-, soojus- (ehk infrapuna-), valgus-, röntgen- ja gammalained.

Lained võivad liikuda ühes dimensioonis, näiteks kui liigutatakse köit. Ka raadiolainete liikumist antennijuhtmes võib käsitleda kui ühedimensioonilist liikumist. Laine võib liikuda ka kahemõõtmelises ruumis, nagu see on nähe veepinna lainete puhul. Kolmemõõtmelises ruumes aga võivad liikuda nii mehaanilised kui ka elektromagnetilised lained.

Kui nüüd rääkida mehaanilistest lainetest, siis tuleb täheldada, et nende osakesed võnguvad ikkagi paigal. Osakesed on omavahel seotud ja annavad energiat edasi järgmisele osakesele. Ei toimu ainetransporti vaid antakse edasi ainult energiat. Kui võtame veepinna lained, siis vesi ei liigu edasi, vaid ainult võngub ülespoole-allapoole, ajalise nihkega erinevates kohtades. Nii tekibki visuaalne mulje, nagu vesi liiguks. Ka helilaine puhul ei liigu õhk ruumi ühest kohast teise, vaid võngub ühes kohas paigal.

Lainetel on lisaks võnkeparameetritele ka liikumiskiirus v (s). Liikumiskiirusest ja sagedusest tuleneb lainepikkus λ (m).

(2.7)

(2.8)

Tihti aga vaadeldakse lainete omadusi konstantsetel tingimustel, mille puhul on lainete liikumiskiirus konstantne. Nii on nt elektromagnetiliste lainete kiirus enamasti konstantne, nad liiguvad vaakumi valguskiirusega (299 792,458 km/s). Normaaltingimustel on helilaine liikumiskiirus õhus 343 m/s, mis võib aga varieeruda, sõltudes õhurõhust, -niiskusest, temperatuurist jms. Lainete konstantse liikumiskiiruse puhul on siis sagedus lainepikkusega pöördvõrdeline. Mida kõrgem on sagedus, seda lühem on lainepikkus. Madala sagedusega helidel on lainepikkus suurem kui kõrge sagedusega helidel.

(2.9)

2.4 Lainete paiknemine ruumis

Lainete võnked võivad paikneda oma liikumissuuna suhtes kahel erineval viisil. Kui võngete telg on täisnurga võrra pööratud liikumistelje suhtes, siis räägitakse ristlainest ehk transversaallainest. Köiega tekitatud laine on ühemõõtmeline transversaallaine, veepinna lained on aga kahemõõtmelised transversaallained. Kolmemõõmeliste transversaallainete puhul aga tekib olukord, kus võnketelg võib omakorda asuda teatud nurga all ringist. Seda nimetatakse polarisatsiooniks. See tähendab, et kui laine võngub ainult ühel tasandil (nt horisontaalselt või vertikaalselt), siis on ta lineaarselt polariseeritud, võngub aga laine juhuslikus teljepositsioonis, siis on ta polariseerimata. Lisaks lineaarpolarisatsioonile on veel olemas nn tsirkulaarpolarisatsioon ehk pöördpolarisatsioon. Sellel juhul pöörleb laine ümber võnketelje täisringis.

Joonis 2.2. Ristlaine ehk transversaallaine: a) Laine, mis kulgeb mööda x-telje, mis on vertikaalselt polariseeritud ja võngub y-teljel. b) Laine, mis kulgeb mööda x-telje, mis on horisontaalselt polariseeritud ja võngub z-teljel.

Kui võnkumine toimib samal teljel kui lainete liikumise telg, siis räägitakse pikilainest ehk longitudinaallainest. Longitudinaallained võivad liikuda ühe-, kahe- ja kolmemõõtmeliselt, polariseerimine ei ole sel juhul võimalik. Joonis 2.3. Pikilaine ehk longitudinaallaine: Laine, mis kulgeb mööda x-telje ja selle võnketelg asub samuti x-teljel.

Helilaine on longitudinaallaine. Seda võib ettekujutada nii, et ühel ajahetkel paiknevad ühes kohas õhumolekulid tihedamalt ja teises kohas hõredamalt, st et ühel kohal on õhu ülerõhk, teisel kohal õhu alarõhk. Järgmisel hetkel muutuvad tihedamad ja hõredamad kohad ja sel viisil liigub laine.

2.5 Lainete liitmine

Kui kaks eri lainet kohtuvad, siis toimub nende liitmine. Kui mängib mitu pilli, siis inimese kõrva ei jõua mitu helilainet vaid siiski ainult üks ― nimelt kõigi helinähtuste liitlaine ja alles inimese aju suudab erinevaid heliallikaid lahus hoida. Nii liituvad samasuguste, väga lähedaste sagedusega lained või ka erineva sagedusega lained. Juhul kui liituvad täpselt sama sagedusega lained, millel on veel sama amplituud, siis on liitlaine tulemuse jaoks oluline nende omavaheline faasinihe. Kui sama sageduse ja amplituudiga lained on samas faasis, siis on nende amplituud pärast liitumist kaks korda suurem. Kui aga kaks sama sageduse ja sama amplituudiga lainet liituvad täpselt 180 kraadilises faasinihkes, siis seisab iga positiivse “mäe” vastu üks samasugune negatiivne “org”. Liitumine annab kokku igas punktis nulli (0), lained kustutavad teineteist ehk heli mõttes tekib vaikus.

Kui satub kokku kaks väikese sageduserinevusega lainet (lähtudes samast amplituudist), siis tekib tuiklemine. Ühes kohas nad saavad kokku peaaegu samas faasis ja liituvad kuni kahekordse amplituudini. Teises kohas aga seisab “mägi” otse vastu “orgu”, nii et heli kustub ja puhkeb amplituudis perioodiliselt. Perioodilise kõikumise sagedus vastab aga liidetavate sageduste vahele, nt kui ühe laine sagedus on 440, teise laine sagedus aga 443, siis on kõikumise sagedus 3 Hz, ehk heli kõigub 3 korda sekundis, mida võib veel kõrva järgi loendada.

Joonis 2.3. Lainete liitumine ja tuiklemine

3. Helispektri ülesehitus

3.1 Fourier’ teoreem

Siinusheli on kõige lihtsam võnkevorm, mida akustilises reaalsuses aga tihtipeale ei esine. Siiski on aga võimalik igasuseid helisid kirjeldada kui teatud siinushelide kogumit, mille igal siinusoidaalkomponendil on oma sagedus, tugevus (ehk amplituud) ja faas. Seda väidet on püstitanud prantsuse füüsik Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), kelle järgi nimetatakse seda ka Fourier’ teoreemiks. Tema uuris mh perioodiliste funktsioonide omadusi ja tõestas, et kõiki perioodilisi funktsioone saab kujutada siinusosadena.

Siinusosa ehk sinusoid saab kujutada funktsioonina aja järgi

, (3.1)

milles t on aeg, a on amplituuditegur, b on sagedustegur, ω (omega) on ringsagedus (vahel ka nurksageduseks nimetatud) ja φ (phi) on faas. Eeldame, et siinuse argument on radiaanides, ehk võetakse arvesse ühikringi pikkus 2π ühe täisringi ehk 360° kohta. Ringsagedus (ehk nurksagedus) on seejärel 2π sekundi jooksul sooritatud võngete arv, mille ühikuks on radiaan sekundis (rad/s). Ringsagedus

, (3.2)

kusjuures ringsagduse rakendamine sinusoidi valemis on vaja korrektuuritegurina, milles f võib ette kujuta number 1 või konkreetse sagedusena.

Vältimaks faasi φ tähistamast võib sinusoid esineda ka sama sagedusega siinuse ja kosiinuse summana

, (3.3)

milles A ja B on amplituuditegurid (mis võivad olla ka negatiivsed) ja b on sagedustegur nagu (3.1) juures. Valem (3.1) saab üle viia valemisse (3.3) trigonomeetria liitmisteoreemi järgi

. (3.4)

Rakendame trigonomeetria liitmisteoreemi sinosoidi valemile (3.1), määrates ja ja säilitame ka amplituudtegurit a.

, (3.5a)

viime sisse nurksulgude eel seisvat amplituuditegurit a:

				(3.5b)

Saamejaamplituudteguri a juurde kirjutada:

(3.5c)

Amplituuditeguri a ja faasi φ saab nüüd kokku võtta A ja B-na

, (3.6)

millega on näidatud, et sinusoidi kirjeldus faasiga siinusfunktsioonina (3.1) saab üle viia siinuse ja koosinuse liitfunktsioonile (3.3).

Kuna nüüd sama faasi siinus ja koosinus on omavahel nihutatud 90° võrra, kehtib Pythagorase teoreemi järgi . (3.7)

Osahelide ehk sinusoidaalkomponentide tähistamiseks on levinud kaks süsteemi. Ühel juhul nimetatakse kõige madalamat sinusoidaakomponenti põhiheliks (ing fundamental) ja kõrgemad sinusoidid ülemhelideks (ing overtone), nummerdades neid järjest. Teisel juhul aga nummerdatakse kõiki sinusoidaalkomponendid kõige madalamast sinusoidist järjest, nimetades neid osahelideks (ing partial). Seega põhiheli on esimene osaheli, esimene ülemheli on teine osaheli, teine ülemheli on kolmas osaheli jne. Et segadust vältida eelistame siiski rääkida osahelidest ja arvestame sellega seotud numeratsiooniga.

Kui teine osaheli omab esimese osaheli suhtes kahekordset sagedust, kolmas osaheli omab esimese osaheli suhtes kolmekordset sagedust, neljas osaheli omab esimese osaheli suhtes neljakordset sagedust jne., ehk osahelid on täisarvude kordsed, siis on tegemist harmooniliste osahelide ehk harmoonilistega (nt. 1. osaheli 100 Hz, 2. osaheli 200 Hz, 3. osaheli 300 Hz, 4. osaheli 400 Hz, 5. osaheli 500 Hz jne.). Selliste osahelistruktuuri puhul helikõrgus vastab esimesele osahelile ja helikõrgus on väga selgelt ära tunda. Muusikateooriast on meile tuntud nn ülemheli-või osahelirida, mis kirjeldab sama fenomeni noodikirja abil (vt. joonis 1).

Joonis 3.1. Osahelirida

Osahelisid saab tähistada diagrammina, kus x-teljel esineb sagedus ja y-teljel tugevus. Tihtipeale on esimene osaheli kõige tugevam osaheli, teised muutuvad järjest nõrgemaks, sulanduvad omavahel kokku ja inimese kõrv kuuleb neid nagu üht ja sama nähtust.

Joonis 3.2. Harmooniliste osahelide sagedus-tugevusdiagramm (lineaarselt ja logarimiliselt)

3.2 Sagedus ja Helikõrgus: Lineaarne ja logaritmiline süsteem

Noodikirjaga tähistatud osahelirea ja sagedus-tugevusdiagrammi vahel näeme üht väga olulist erinevust. Kui intervallid noodikirjas lähevad järjest väiksemaks ning osahelide arv igas järgmises kõrgemas oktavis kahekordistub, näeme sagedus-tugevusdiagrammis ainult sageduse poolest samavõrdselt tõusvaid osahelisid. Siiski on tegemist ühe ja sama asjaga, mille erinevus seisneb ainult kirjeldamisviisis. Kuigi sageduse poolest on ülemhelisid diagrammis kujutatud lineaarselt, näitab noodikiri seda, mida meie kõrv kuuleb, ja seda nimelt logaritmilisele süsteemile läheneval viisil. Võtame 100 Hz, millest oktavi võrra kõrgem sagedus on 200 Hz, kahe oktavi kõrgem aga juba 400 Hz. See tähendab, et osahelide intervallsuhted on igas oktavis samad, aga nende sageduse erinevus on sagedusspektri igas kohas erinev (nt 200Hz:300 Hz on kvint, nende vahe on 100 Hz, oktavi võrra kõrgemal on see 400 Hz:600 Hz, kuid nende vahe on 200 Hz), nii et sageduste vahed ei kajasta otseselt intervalli, vaid intervalli määrab sagedussuhe! Lõpuks saab ka sagedusskaalat logaritmiliselt kujutada ja selline diagramm sarnaneb noodikirja abil tähistatud osahelireale.

Mis on logaritm? Logartitm on juurutamise kõrval astendamise teine vastandoperatsioon. Arvu c logaritmiks alusel a (a > 0, a ei võrdu 1) nimetatakse arvu b, mille korral

. (3.8)

Logaritmi leidmist nimetatakse logaritmimiseks. Arvu c logaritmi alusel a märgitakse sümboliga logac, kus arvu a nimetatakse logaritmi aluseks ja arvu c logaritmitavaks. Logaritmimine on astendamise pöördtehe, kus astme ja astme aluse järgi leitakse astendaja2.

(3.9)

Kui logaritmil on alus a = 10, räägitakse kümnendlogaritmist. Enamasti alus 10 ei kirjutatat välja, erinevates publikatsioonides on kümnendlogaritm kirjutatud kas log ilma aluse kirjutamata või on kirjutatud lg. Kuna oktavi sagedussuhe on 2, tuleb muusikaliste intervallide arvutamiseks kasutada logaritm alusel 2.

Tihti kalkulaatorid pakuvad ainult kümnendlogaritmi tehet, tuleb seda teisendada järgmiselt:

(3.10)

3.3 Helisüsteemi käsitluses eri häälestustes

Lääne muusikas käibel olev helisüsteemi käsitletakse kahel viisil : 1) intervallid kirjeldatakse kui sagedussuhted fa/fb, tegemist on puhta häälestusega ehk inglise keeles just intonation (JI). Kuna puhta häälestuse puhul tekivad transponeerimisel ühilduvusprobleemid, on ajalooliselt otsitud erinevaid lahendusi, millest seni kõige edukam käsitlus on 2) tempereerimine. Tempereeritud häälestus tekib siis, kui jagatakse mõni suurema intervall võrdseteks osadeks niiviisi, et saadud intervallid on mõnedele puhta häälestuse intervallidele suurusest väga ligilähedased. Lääne muusika helisüsteemis jagatakse oktavit kaheteistkümneks võrdseks intervalliks ja sellistest pooltoonidest saab kombineerida kõik teised vajaminevad intervallid. Kuna intervallid on sagedussuhed, tuleb tempereeritud intervallide leidmiseks otsida arvjada, mille kõrvalolevate liikmete jagatis on alati sama. Sellist jada nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Teisisõnu tähendab see, et alt ülesse tuleb antud heli sagedust korrutada alati sama teguriga q, et minna ühest helist teise. Seda protsessi tuleb teha täpselt 12 korda, et saavutada oktavi, mille sagedussuhe on 2. Olgu geomeetriline jada A, millel on 13 liiget a0, a2 ,..., a12, ja millel on suhe a12/a0 = 2, ja millel teguriks on q. Sealjuures liikmed a1 kuni a12 seisavad helikõrgused suhteliste sageduste eest ja q seisab pooltooni eest. Et a12 arvutada a0-st, tuleb korrutada a1 12 korda q-ga, mis tähendab q12. Sellest tuleneb, et q12 = 2 (3.11). Et teada saada, kui suur on pooltoon, tuleb valem (X) ümber pöörata q poole, mis on q = 12 juur 2-st (3.12).

Tegur: q q q q q q q q q q q q

Geom. Jada liikmed: a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12

Joonis 3.10. Tempereeritud süsteem kujutatud geomeetrilise jada A-na, mille liikmed on a0, a1, ... a1 , ja millel on suhe a12/a0 = 2, ja mille teguriks on q.

Et erineval viisil tuletatud intervallid omavahel võrrelda, kasutatakse tihti nn cent-süsteemi. Cent-süsteem põhineb tempereeritud häälestusel, mis teeb intervallide ettekujutamine lihtsamaks. On defineeritud, et tempereeritud pooltoon on 100 senti, tempereeritud täistoon 200 senti, tempereeritud väike terts 300 senti jne. Oktav on siis 1200 senti. Mittetempereeritud intervallid kirjeldatakse siis sent-väärtustega, mis ei ole 100-ga kordsed. Niiviisi saab ette kujutada, kas nt mingi puhta häälestuse intervall on mõne ligilähedasest tempereeritud intervallist suurem või väiksem ja saab hinnata, kui palju see intervall on sellest suurem või väiksem.

Intervallisuurus sentides on defineeritud:

.

Kõige olulisemad vastuolud, mis tekivad puhta häälestuse intervallide vahel on Pythagorase koma, Didymose komma, väike dieesis ja suur dieesis.

Pythagorase koma tekib, kui ehitatakse üksteise peale 12 puhta kvinti suhtega 3/2, siis tuleb välja, et ssaavutatud helikõrgus transponeeritud 7 oktavit alla, on umbes 23,46 senti kõrgem kui algne heli.

Didymose koma (ka Syntoni koma) tekib, kui ehitatakse ükstise peale 4 puhta kvinti suhtega 3/2 (nt C-G-D-A-E), siis tuleb tõdeda, et saavutatud hekõrgus transponeeritud kahe oktavi võrra allapoole ei ole võrdne puhta häälestuse suure tertsiga 5/4, vaid umbes 21,51 senti võrra kõrgem.

(suur terts, mis tekib neljast kvindist)

(võrdleme suur terts 81/64 puhta häälestuse suur tertsiga 5/4)

Väike dieesis on see intervall, kui ehitatakse kolm puhta häälestuse suurt tertsi 5/4 üksteise peale. Saavutatud helikõrgus on võrreldes oktaviga 2/1 umbes 41 senti madalam.

Suur dieesis on see intervall, kui ehitatakse neli puhta häälestuse suurt tertsi 6/5 üksteise peale. Saavutatud helikõrgus on võrreldes oktaviga 2/1 umbes 63 senti kõrgem.

4. Põhilainekujud

Liithelidest huvitavad meid eelkõige neid, mille osahelid käituvad täisarvuliste suhete järgi. Liidame neid kokku sinusoididest (vt valem 3.1), mille faas on 0 või miinusmärgiga vastandfaas

või selle vastandfaas ,		(4.1)

ja milles a on amplituuditegur ja b sagedustegur.

On olemas teatud arv põhilainekujusid, mis moodustavad isegi laine väliskuju põhjal näha olevaid eri tüüpe. Näiteks kui osahelide tugevus järjest kahaneb proportsionaalselt nende sageduse kasvamisega, siis tekib nn saehamba (ing sawtooth) põhilainekuju:

Joonis 4.1. Saehammas. Lainekuju ja sagedus-tugevusdiagramm

Saehamba lainekujus omab 2. osaheli esimesega võrreldes kahekordse sageduse ja esimesest osahelist poole võrra väiksema tugevuse, 3. osaheli esimesega võrreldes kolmekordse sageduse ja esimesest osahelist kolmandiku võrra väiksema tugevuse jne. Seda nähtust võib ka matemaatiliselt väljendada:, kusjuures n tähistab osaheli järjestusnumbri:

(4.2)

kus n tähistab osahelide järjekorra numbrit

(n olgu naturaalarvudest element ja suurem kui null).

Sama asjaolu saab lihtsamini ka summavalemina väljendada, kus esineb summamärgi järelt ainult eelmise valemi üldliige (ehk tundmatu n-iga lõpposa):

(4.3)

Siinkirjeldatud saehamba põhilainekuju näol on tegemist nn laskuva saehambaga. Tõusev saehammas aga tekib, kui paarisosahelid ja paaritud osahelid on 180° võrra faasinihkes, mida matemaatiliselt tähistatakse vahelduvalt pluss- ja miinusmärgiga. Paarisarve väljendatakse siis avaldisega 2n ja paarituid arve avaldisega 2n-1.

(4.4) või summana:

(4.5)

Saehambakujuline heli esineb eriti poogenkeelpillidel.

Teine oluline põhilainekuju on nelinurklainekuju, mis tekib siis, kui jätame paarisosahelid välja.

Joonis 4.2. Nelinurk. Lainekuju ja sagedus-tugevus-diagramm

Selline laine moodustab nelinurga kuju, mispärast nimetatakse teda lühidalt ka nelinurgaks (ing square), aga ka impulsslaineks (ing impulse wave), mille matemaatiline valem on:

(4.6)

või summana:

(4.7)

Nelinukheli sarnaneb klarneti alumise registri helidega või kinniste orelivilede heliga. Mõlemate puhul on paarisosahelid nõrgad või puuduvad helispektris.

Siinusheli on nii oma välise kuju kui ka kõlamulje poolest kõige lähedam põhilainekuju nimega kolmnurklaine (ing triangle wave) Esinevad ainult paaritud osahelid, nende tugevus kahaneb aga rohkem kui eelnevalt vaadeldud põhilainekujude puhul, nii et osahelide tugevus vastab tema järjekorranumbri ruudule retsiprookselt (1/n2).

Joonis 4.3. Kolmnurk. Lainekuju ja sagedus-tugevusdiagramm

Kolmnurga lainekuju koosinustest koosnev valem on:

(4.8)

või summana:

(4.9)

Näeme, et kolmnurga lainekuju puhul kahanevad siinuskomponentide amplituudid pöördvõrdeliselt ruudus sagedussuhtega ehk kahanevad kiiremini kui saehamba ja nelinurklaine puhul.

Kolmnurklainet saab kirjeldada ka siinustega, millel aga esinevad vahelduvalt faasipeegeldusi ehk + ja - märgid:

(4.10)

või summana:

(4.11)

Põhilainekujud leiavad rakendust nn analoogsüntesaatorites, kus nad täidavad helitekitaja (ostsillaatori) rolli.

5. Spektraal- ja sonogrammanalüüs Fourier’ kiirteisenduse abil

Elektrooniliselt või digitaalselt salvestatud heli esineb lainekuju vormis, mida on esitletud andmekandjal, mingil vahelülil ehk meediumil (ferromagnetiline, optiline, magnetoptiline vm). Lainekuju sellisena ei ole võimalik tajuda inimkõrva kaudu, vaid me kuuleme helilisi sündmusi eri sageduste ja pikemaajaliste grupeeringute kujul, nagu on rütmistruktuurid. Kui rütmistruktuuri on võimalik eristada ka helilainekuju järgi, siis sageduslikke tunnuseid sealt kätte ei saa. Räägitakse aja- ja sagedusdomeenist (ing time domain, frequency domain). Et sagedusdomeeni kätte saada on vajalik teha spektraalanalüüsi. Kõige levinum meetod on niinimetatud FFT-analüüs (ing Fast Fourier Tranform) ehk Fourier’ kiirteisendusanalüüs. On aga olemas ka nn wavelet analüüs.

5.1 Spektraalanalüüs

Spektriks nimetatakse sellist diagrammi, milles on näidatud sagedus (tavaliselt x-teljel) ja tugevus (tavaliselt y-teljel) (vt näidet 1). On võimalik esitada järjest teatud arv spektreid kolmemõõtmelise diagrammina või kahemõõtmelise tugevuse parameetrina värvi abil, mida nimetatakse siis spektrogrammiks või sonogrammiks (ing sonagram).

Joonis 5.1. Spekter

5.2 Spektrogramm (sonogramm)

Sonogrammi ehk spektrogrammi x-teljel esitletakse ajalist kulgemist, milles on võimalik näha pikemaajalisi nähtusi ja rütmistruktuure. Y-telg kujutab sagedust, mida omakorda võib olla lineaarses või logaritmilises skaalas. Helitugevus aga väljendub defineeritud värvitoonides, need võivad olla vikerkaare värvide (või muus) järjestuses või hallastmetena. Hallastmestiku puhul on tavaliselt must kõige tugevam signaal (teatud sagedusel) ja valge kõige nõrgem, ent hallastme diapasooni saab enamasti ka reguleerida (nt arvutiprogrammis Audio Sculpt).

Joonis 5.2. Sonogramm ehk spektrogramm

5.3 Fourier' analüüsi parameetrid ja põhiprintsiip

Fourier’ kiirteisenduse jaoks on vaja määrata vastavad analüüsiparameetrid. Et analüüsida helifaili, on vajalik jagada kogu faili väikesteks tükkideks, mida nimetatakse akendeks (ingl window). Akende suurus (ing window size) määratakse millisekundites või sämplides (NB. 44100 sämplit on 1 sekund, juhul kui sämpleerimissagedus on 44100 Hz). Kuna akende „lõikamine“ on helilaine suhtes juhuslik, siis võib helilaine katkestamine mitte just nullpunktis tuua sisse impulssitaolisi moonutusi (ingl click). Selle vältimiseks pannakse igale aknale n.ö fade-in ja fade-out. Nende fade’ide kuju määratakse nn aknatüübi kaudu (ing analysis window type), mille kuju tähistatakse teatud mõistetega – blackman, hamming, hann, Gaussi funktsioon (ingl gaussian) jms.

Fade’ide tõttu aga tekivad analüüsis augud, kus ei ole midagi, mida analüüsida. Aukude vältimiseks tekitatakse rohkem aknaid kui tegelikult helifaili pikkusesse mahub, sellel viisil, et järgmine aken ei alga alles siis kui eelmine aken lõpeb, vaid see algab juba varem. Nüüd aknad haakuvad (ingl overlap), selle parameeter tähistatakse nn. akna sammuga (ing window step), mõõdetuna millisekundites või sämplites. Väärtus näitab seda ajavahemikku, millal algab järgmine aken. Et aknad ka haakuksid, peab akna samm olema akna suurusest väiksem.

Kui sonogrammi horisontaalresolutsioon on määratud akna suuruse kaudu, siis jääb veel parameeter, mille kaudu on võimalik mõjutada ka vertikaalresolutsiooni. Terve sagedusdomeen, mis on nüüd piiratud Nyqvisti teoreemi järgi poole sämpleerimissagedusega (s.t et 44100 hertsi puhul kõige kõrgem esitatav sagedus on 22050 hertsi), jaotatakse võrdseteks ribadeks; ribade arv peab olema number kahest täisarvuline aste (21 22 23 24 25 26 jne, see on siis 2 4 8 16 32 jne). Ribade arv määratakse nn Fourier’ kiirteisenduse suurusega (ingl FFT size), mis on ribade arvust kaks korda suurem, ehk kui FFT suurus on 1024, siis ribade arv on 0 hertsi ja 22050 hertsi vahel 512. Riba laiust saab tähistada ka sagedusvahemikuna; antud näites on see 22050 Hz ja 512 riba puhul 43.07 Hz.

Praktiliseks otstarbeks aga on vaja teada, millal kasutada missuguseid FFT parameetreid. Kõigepealt tuleb vaadelda akna suurust: mida suurem see on, seda madalam on ka kõige madalam analüüsitav sagedus. Võib tõdeda, et mida väiksem on akna suurus, seda täpsem on ajadomeeni resulutsioon. See aga toimub sagedusdomeeni arvel, kuna siis madalamaid sagedusi ei ole enam võimalik kujutada. Vastupidi aga, mida suurem on akna suurus, seda vähem täpne on ajadomeen, ajateljel kaovad kiired detailid. Kui aga valida väiksem aknasuurus, siis madalat registrit ei saa arvestada, kuid kiiremad detailid ajateljel on näha.

Joonis 5.3. FFT parameetrite skeem

6. Modulatsioon

Erinevad helisignaalid saab erineval viisil omavahel seostada. Kõige lihtsam viis on eelnevalt käsitletud lainete liitmine, mida võib kirjeldada kui funktsiooni fA ja fB liitmine, mille argumentideks on aeg t:

(6.1)

Lainete liitmine toimub siis, kui kahe või rohkema heliallikate lained sattuvad kokku, kas akustiliselt (nt kaks pilli mängivad samal ajal) või elektrooniliselt (nt analoogse helipuldi puhul). Erinevate akustiliste heliallikate lained liituvad õhus ja inimese kõrvuni jõub liitlaine. Alles aju kuulamiskeskus lahutab erinevaid heliallikaid analüütiliste võttete ja kuulamiskogemuste abil. Lainete liitmine ei kuulu aga nn modulatsioonide hulka.

On aga veel võimalusi, kuidas helisignaale omavahel seostada sellel viisil, et kõrv ei suuda enam algseid heliallikaid lahus hoida. Just need võimalused huvituvad meid helisünteesi valdkonnas, et tekitada uusi helisid. Tehnikast, eriti raadiosidetehnikast on meil tuntud erinevaid modulatsiooniprintsiipe. Kuna üldine teooria lainete omadustest on universaalne, ehk ei sõltu oma kehtivuse poolest ei lainetüübist ega sagedusest, siis on ka võimalik raadioside tehnikast rakendatud modulatsiooniprintsiipe üle kanda helilainete käsitlemisel. Eristatakse nn amplituudmodulatsion (ingl amplitude modulation) ja sagedusmodulatsioon (ingl frequency modulation). Modulatsioon tähendab kõigepealt kahe laine põimimine. Raadiosidetehnika, kus on oluline informatsiooni ülekanne, eristatakse moduleeritav sagedus ehk kandesagedus (ingl carrier frequency) ja moduleeriv sagedus (ingl modulating frequency), millest viimane on ülekantav informatsioon (heli, pilt, digitaalsed andmed jms). Kui raadiosidetahnikas peab vastuvõtja moduleeritud signaal jällegi lahti võtta ehk kandesageduse eemaldada ja informatsiooni taastada (ehk moduleeritud signaal on ainult traadita ülekanne eesmärgiks loodud), siis helisünteesis on oluline moduleeritud laine ise. Raadiosidetehnikas on moduleeriv sagedus alati kandesagedusest oluliselt väiksem. Kõik modulatsioonid saab programmiga Max arvutis järgi ehitada, mis on järgnevalt näidetena ära toodud.

6.1 Amplituudmodulatsioon

Amplituudmodulatsiooni puhul on meil kandesagedus, mille amplituud moduleeritakse ehk muundatakse moduleeriva sageduse järgi. Moduleeritud signaali kuju kannab sii moduleerivat sagedust oma amplituudi ehk tugevuse mähisjoonena, ja seda kaks korda omavahel peegelpildis. On aga võimalik muuta ka modulatsiooni sügavust, st. kui sügavalt tungib moduleeriv sagedus kandesagedusse. Kui moduleeriv signaal jõuab oma suurima amplituudiga kandesageduse nullpunktini (sümmeetriliselt nii ülevalt kui ka alt tulles), siis on modulatsiooni sügavus 100%. Kui aga moduleeriva signaali jõuab suurima amplituudiga ainult poole kandesageduse tugevusest, siis on modulatsiooni sügavus 50% jne.

Matemaatiliselt võib amplituudmodulatsiooni seletada kui kahe signaali korrutamine, kuigi moduleerival signaalil on kandesagedusest poole väiksem tugevus ja see on 0.5 võrra ülespoole lükatud, nii et moduleeriva signaali amplituudi miinimumid (ehk orud) puudutavad nulli.

(6.2)

Sealjuures tähistab fM(t) moduleeriva signaali funktsiooni ja fK(t) kandesageduse funktsiooni. Eeldades, et mõlemad signaalid on kirjeldatav siinusfunktsioodega, saame kirjutada:

. (6.3)

Sealjuures on tähistib aM moduleeriva sinusoidi amplituudtegurit, bM moduleeriva sinusoidi sagedustegurit, aK kandesageduse sinusoidi amplituudtegurit ja bK kandesagesue sagedustegurit.

Näide 6.1 Amplituudmodulatsioon näidatud arvutiprogrammiga Max. Moduleeriv signaal 1), millel on siinuslaine sagedusega 3 Hz, muudetakse unipolaarseks (ühepoolseks) 1a), korrutades esimest 0.5-ga ja seejärel liitudes 0.5-ga. Kandesignaal 2), millel on siinuslaine sagedusega 30 Hz, korrutatakse moduleeriva signaali unipolaarse versiooniga, mille tulemus on amplituudmoduleeritud signaal 3).

Moduleeritud signaali saab kujutada ka spektraalselt sagedus-tugevus-diagrammina. Eeldades, et nii kandesagedus on siinus, siis kandesageduse ümber tekivad nn kõrvalribad (ingl. sidebands), mis asuvad sagedustel:

(6.4)

Selline sageduslik käitumine saab seletada järgnevalt: Kõigepealt tuleb valemist 6.3 kandesageduse sinusoidi korrutada moduleeriva sinusoidi juures oleva summaga:

(6.5)

Saadud avaldises on jäänud veel korrutis , milles aK tuleb viia veel ettepoole. Tahapoole jäävat korrutist saab käsitleda trigonomeetrilise korrutusteoreemi abil:

(6.6)

mille juures olgu ja .

(6.7)

Võtame kokku ja korrutame nurksulgude eest seisvat avaldist:

(6.8)

Valemis 6.8 saavutame kolmest liidetavast koonevat summat, millest esimene liidetav on poole amplituudiga kandesagedusega sinusoid, teine ja kolmas liidetav on veerandi võrra vähenenud kõrvalribade sinusoidid. Tähelepanelik lugeja võib möönda, et siinkohal lahutame moduleerivast sagedusest kandesagedust. Kui sellel puhul satuks tulemus nö negatiivsete sageduste hulka, siis tuleb seda ikkagi võtta positiivse sagedusena, mis on siis sama, kui me lahutame moduleerivat sagedust kandesagedusest.

Kui moduleerival signaalil on laiem spekter, siis iga selle spektri sagedus käitub ka valemi (6.4) järgi, nii tekivad kandesageduse ümber kaks peegelsümmeetrilist spektrit. Kui aga kandesagedus ise on liitlaine, siis käib see protsess iga liitlaine siinuskomponendi puhul, nii et helimaailmas väljendatuna, tekivad väga komplekssed helid. Amplituudmodulatsiooni käitumine sagedusdomeenist on kujutatud näites 6.3.

Näide 6.3 Amplituudmodulatsioni käitumine sagedusdomeenil: a) Kandesagedus fK ja moduleervi sagedus fM, millest viimast vähendatakse amplituudis poole võrra ja muudetakse unipolaarseks signaaliks (kujutatud hallide joontega). Amplituudmodulatsiooni tulemus on algesest kandesagedusest veerandi võrra väiksemate amplituuditega sinusoidid sagedustega fK-fM ja fK+fM ning poole võrra vähenenud sinusoid kandesagedusel (kujutatud mustade joontega). b) Amplituudmodulatsioon juhul, kui moduleerivaks signaaliks on laiemaspektriline signaal. Tulemuseks on kandesageduse ümber kaks kõrvalriba, millest alumises kõrvalribas ilmub moduleeriv signaal sageduslikult inverteerituna.

6.2 Ringmodulatsioon

Kui amplituudmodulatsioonis tungib moduleeriv signaali mähisjoone ainult kuni kandesageduse nullteljeni, sümmeetriliselt ülevalt ja alt, siis ringmodulatsiooni puhul jõuab moduleerva signaali mähisjoon ka üle kandesageduse teljeni välja. Ka sellel puhul ilmub mähisjoon kaks korda, omavahel peegelpildis. Moduleeriva signaali nullpunktis ristuvad mähisjooned, tekivad kalataolised mustrid. Matemaatiliselt on ringmodulatsioon samamoodi kahe laine omavaheline korrutamine, ainult mitte poole võrra väiksema modulateeriva sageduse vaid selle täistugevusega:

(6.9)

Mis tähendab siinushelide puhul:

(6.10)

Sealjuures on aM moduleeriva sageduse amplituudtegur, bM moduleeriva sageduse sagedustegur, aK kandesageduse amplituudtegur ja bK kandesageduse sagedustegur. Kuna ringmodulatsiooni puhul on tegemist lihtsa korrutamisega, ei saa tegelikult öelda, kumb signaal on kandesignaal ja kumb on moduleeriv signaal. Nagu eelpool amplituudmodulatsiooni käsitlevas peatükis 6.1 öeldud, pärinevad need mõisted raadiotehnikast ja kuna seal signaali ülekantav sagedus on alati kõrgem kui ülekantava signaali sagedused, on kandesagedus alati moduleerivast sagedusest kõrgem. Sellisel viisil on ringmodulatsioon kujutatud näites 6.4.

Näide 6.4 Amplituudmodulatsioon näidatud arvutiprogrammiga Max. Moduleeriv signaal 1), millel on siinuslaine sagedusega 3 Hz ja Kandesagedus 2), millel on siinuslaine sagedusega 30 Hz, korrutatakse moduleeriva signaaliga, mille tulemus on ringmoduleeritud signaal 3).

Ka ringmodulatsiooni puhul liituvad ja lahutuvad kande- ja moduleeriva signaali sagedused nii nagu amplituudmodulatsiooni puhul valemis 6.4 öeldud. Seda saab samamoodi seletada liitmisteoreemiga (valem 6.6) mille puhul olgu vastavalt valemis 6.10 rakendatud ja , mille asenduse tulemus on:

. (6.11)

Siinkohal näeme ka, et kahe sinusoidi ringmodulatsiooni tulemusena ilmuvad kaks uut sinusoidi, mille amplituud on poole võrra väiksem kui algsetel sinusoididel, mida on näidatud spektrogrammina näites 6.5.

Näide 6.5 Ringmodulatsiooni käitumine sagedusdomeenil: a) Kandesagedus fK ja moduleervi sagedus fM, (kujutatud hallide joontega). Ringmodulatsiooni tulemus on algesest kandesagedusest poole võrra väiksemate amplituuditega sinusoidid sagedustega fK-fM ja fK+fM (kujutatud mustade joontega). b) Ringmodulatsioon juhul, kui moduleerivaks signaaliks on laiemaspektriline signaal. Tulemuseks on kandesageduse ümber kaks kõrvalriba, millest alumises kõrvalribas ilmub moduleeriv signaal sageduslikult inverteerituna.

Ringmodulatsioon oli elektronmuusika algusaastatel üks tähtsaim live-elektroonika vahend, kuna analoogtehnikas oli see väga lihtne teostada.

Ringmodulatsiooni ja amplituudmodulatsiooni põhinevad mõlemad samal printsiipil, mõlema puhul signaalid korrutatakse omavahel. Sellest erinev on sagedusmodulatsioon, mida käsitletakse järgmises peatükis.

6.3 Sagedusmodulatsioon

Sagedusmodulatsiooni puhul mõjutab moduleeriv signaal kandesignaali sagedust, nii et kandesignaali sagedus kõigub moduleeriva sageduse järgi. Modulatsiooniindeks ehk modulatsiooni sügavus saab kirjeldada sagedusvahemikuna (Hz). Matemaatiliselt saab sagedusmodulatsiooni kirjeldada nõnda, et kandesignaali sagedustegurile bK liidetakse juurde moduleeriv sagedus. Sealjuures täidab moduleeriva signaali tugevustegur aM modulatsiooni sügavuse teguri rolli; sagesusmodulatsioon toimub kandesageduse juures ± aM hertsi ümber.

(6.12)

Sagedusmodulatsiooni protsess on kirjeldatud näites 6.6.

Näide 6.6 Sagdeusmodulatsioon, näidatud arvutiprogrammiga Max. Moduleeriv signaal 1), millel on siinuslaine sagedusega 3 Hz, korrutatakse modulatsioonisügavusega, mis siinkohal on 20. Kandesignaal 2), millel on siinuslaine sagedusega 30 Hz, võetakse selle sageduse lihtsalt numbri ehk konstantse signaalina, millele liidetakse modulatsioonisügavusega korrutatud moduleerivat signaali 3). Sellest saadud signaal muutub niiviisi perioodiliselt ühe siinusgeneraatori sagedus ja ulemuseks on lainekuju 4).

7. Analoogsünteesi põhimõtted

Niinimetatud analoogsüntees tekkis 60. aastatel, kui elektroonika transistori arenguga muutus aina rohkem paindlikumaks. Kujunesid välja sünteesi põhikomponendid nagu ostsillaatorid ehk generaatorid, filtrid, võimendid ja modulaatorid (sagedus ja ring/amplituudmodulatsioon). Lõpuks ka kondensaatoridioodi abil sai võimalikuks nimetatud komponendite parameetrite mõjutamist mitte ainult käsitsi nuppudega vaid ka elektroonilisel teel, nn tüürimispinge (ingl control voltage, lühend CV) abil, mille muutus (tavaliselt 0-5 V) mõjutas proportsionaalselt vastava komponendi parameetrit. Tekkisid süntesaatoris ja süntesaatorisüsteemid, mida sai tänu tüürimispinge vabalt konfigureerida, seda nii üksikute komponentide vabalt juhtmega ühendades (tänapäeva näide: Doepfer'i modulaarsüsteem A-100) kui ka maatriksite abil, kus sai komponendid ühendatud spetsiaalsete nõelatega (EMS Rehberg Synthi AKS-80). Tänapäeval on sellised analoogsüsteemid ka järgi tehtud digitaalse tarkvara näol. Kõik komponendid on võimalik MAX/MSPga arvutis järgi ehitada, mis on edaspidi näidetena ära toodud.

7.1 Ostsillaatorid

Peakomponendiks on ostsillaator või generaator, mis on võimalik tüürida voolupingega. Sellest tuleneb ka lühend VCO (ing. voltage controlled oscillator). Tüürimispinge mõjutab ostsillaatori sagedust. Ostsillaatoril võib olla erinevad põhilainekuju kui ka juhusfunktsioon (ing. random).

Eraldi on veel nn LFO (ing. low frequency oscillator) ehk madalsageduste ostsillaator, mille ülesanne on toota sagesusi, mis asuvad kuulmislävest allapool, kuigi praktikas ulatuvad nad ikkagi kuuldavasse sagedusalasse. Sellise ostsillaatoriga tüüritakse peamiselt tavalist ostsillaatorit (VCO), et saavutada vibraato, kui mõjutatakse ostsillaatori sagedust (sagedusmodulatsioon) või tremolot, kui mõjutatakse lihtsalt ostsillaatorist tuleva signaali tugevust (amplituudmodulatsioon). Sellisel juhul on modulatsiooni kandesagedus kuuldavas sagedusalas, moduleeriv sagedus aga kuuldavast sagedusalast allpool. Tihti ka kasutatakse võimalust, et sellisest modulatsioonist LFOga üle minna mittekuuldavast sagedusalast kuuldavasse ja vastupidi.

7.2 Võimendid

VCA ehk ingl.k voltage controlled amplifier on võimendi, mille võimenduskraadi saab mõjutada tüürimispinge abil. Tugevuse mõjutamine tähendab vastava signaali matemaatilist korrutamist ainult positiivsete arvudega (või ainult negatiivste arvudega, mis aga toodab ühtlasi lähtesignaali vastandafaasis), laias laastus on tegemist amplituudmodulatsioniga.

7.3 Filtrid

Filtrid on komponendid, mis mõjutavad helisignaali sageduskoosseisu. Tüürimispingest kontrollitavaid filtreid nimetatakse VCF´iks ehk ingl.k voltage controlled filter. Filtrid jagunevad erinevateks tüüpideks, mida iseloomustatakse sageduslike omaduste põhjal. Järgnevalt esitatud filtritüüpe on võimalik ehitada MAX/MSPga biquad~ ja selle graafilise kontrollobjektiga filtergraph~.

Madalpääs (lowpass) filter madalaid sagedusi läbilasev filter, kõrgemad sagedused summutatakse

Kõrgpääs (highpass) filter kõrgeid sagedusi läbilasev filter, madalamad sagedused summutatakse

Ribapääs (bandpass) filter laseb läbi teatud sageduste ala, muud sagedused summutatakse

peaknotch filter tõstab või summutab ühe konkreetse sageuse juures

Madaltasemefilter, lowshelf tõstab või summutab madalate sageduste ala Kõrgtasemefilter highshelf tõstab või summutab kõrgemate sageduste ala resonants (resonant) filter tõstab ühe konkreetse sageduse juures, muud summutatakse

Näide 7.1 Kõige levinumad filtritüübid. a) Madalpääsfilter (lowpass filter), b) kõrgpääsfilter (highpass filter), c) ribapääsfilter (bandpass filter), d) ribalõikefilter (bandstop filter), e) võimendus/summutusfilter (peacknotch filter), näidatud siin võimendusfiltrina, f) resonantsfilter (resonant filter), g) madaltasemefilter (lowshelf filter), näidatud siin tõstetud madalsagedusalaga, h) kõrgtasemefilter (highshelf filter, näidatud siin langetatud kõrgsagedusalaga.

Nimetatud filtritüübide omadused on võimalik mõjutada kolme parameetri abil: Cut-off frequency ehk piirdesagedus, gain ehk tugevus ning qualtity, tähistatud Qga, millega määratakse, kui kitsalt filtreeritakse või kui kiiresti langeb/tõuseb filtrikurv. Lowpass, highpass, lowshelf ja highshelf filtritüübide puhul esineb liiga kitsa Q-väärtusega lisaresonants.

Filtrid on väga olulised komponendid analoogsetel sünteesisüsteemidel. Nende abil saab eriti ülemhelirohkete põhilainekujude (nagu saehammas ja nelinurk) helispektrid mõjutada ja spektraalsed alad välja filtreedida, mida sellel juhul nimetakas subtraktiivseks sünteesiks. Nimetatud filtrite (VCF) kolm parameetrit on võimalik kontrollpingega mõjutada. Sellel viisil saab moodustada ka kaasajooksvad filtrid, ehks filtri Cut-off frequency tõuseb ja laskub samaaegselt otsillatorsagedusega, mille tulemuseks on helikõrgusest sõltumatud spekraalsed omadused.

7.4 Envelope

Envelope'i all mõistetakse vahend, mille abil saab heli ajalist kontuuri mõjutada. Tihti puudub see helitugevuse parameetrit, kuigi envelope'i abil saab ka mõjutada mistahes parameeter. Nii on tuntud nn wah-wah-efect, kus liigutatakse filtri cut-off sageduse heli ajalise kontuurina.

Envelope jaotatske erinevateks faasideks, enamsti on kasutusel viis erinvat faasi. Need on Attack ehk heli algus, järgneb Decay ehk väike laskuv faas, siis tuleb Sustain ehk heli stabiilne faas. Envelope'i lõpetab Release, ehk kustumise faas. Nimetatud faaside algustähtede järgi nimetakse seda skeemi ka ADSRiks.

Envelope'i ADSR-faasid korrespondeeruvad süntesaatori klahvivahjutustegevusele. Kui vajutatakse klahvi, siis hakkab Attack, millel järgneb Decay. Niikaua kui klahv hoitakse all püsib heli Sustaini tasemel. Kui lastakse klahvi lahti, siis tuleb Release faas ehk heli kustumine.

Näide 7.2 ADSR-tüüpi envelope ehk mähisjoon lõikudega Attack, Decay, Sustain ja Release. Sealjuures kirjeldatakse attack, decay ja release ajaparameetri, sustain aga nivoona, arvestades, et attack lõpeb maksimaalse helinivooga. Sustain käsitletakse määramata kestusena, nii kaua kui klahv jääb vajutatud.

Kirjandus

Chowning, John; Bristow, David, 1986. FM Theory & Applications. By Musicians for Musicians. Tokyo: Yamaha Music Foundation.

Cook, Perry R., 2002. Real Sound Synthesis for Interactive Applications. Natick, Mass.: A K Peters,

Kallaste, Tõnu, 2002. Elementaarne MIDI. Viljandi Kultuurikollež.

Miranda, Eduardo Reck, 1998. Computer Sound Synthesis for Electronic Musician. Oxford: Focal Press,

Puckette, Miller, 2007. The Theory and Technique of Electronic Music. http://msp.ucsd.edu/techniques.htm

Roads, Curtis et alii. The Computer Music Tutorial. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1996

Sundberg, Johan. Õpetus muusikahelidest. Tallinn: Scripta Musicalia, 1995

Tutschku, Hans, 2001. Diphone Studio. Applications. Additive Analysis and Synthesis. Creating Sequences. Analysis of Resonance Models. IRCAM – Centre Pompidou, lk. 4-10 (pt. 1.3 Fourier Analysis of the Spectrum)